Что ребёнок должен понять в этой теме
В 11 классе тригонометрия переходит от формул к графикам. Синус и косинус становятся периодическими функциями с волнообразным графиком, у них появляются амплитуда, период и промежутки монотонности. По графику читают решения простейших тригонометрических неравенств: где волна выше или ниже заданной линии — там и лежит ответ.
Что нужно держать в голове
- Тригонометрические функции периодичны: один и тот же набор значений повторяется через период.
- Период синуса и косинуса — два пи; у тангенса период равен пи.
- Синус и косинус принимают значения от минус единицы до единицы, поэтому уравнение с правой частью больше единицы решений не имеет.
- Умножение функции на число растягивает график по вертикали и меняет амплитуду, но не период.
- Слагаемое под знаком функции сдвигает график по горизонтали, а слагаемое снаружи — по вертикали.
- Чётность и нечётность видны по графику: косинус симметричен относительно вертикальной оси, синус — относительно начала координат.
- Неравенство по графику решают там, где соответствующие точки графика лежат выше или ниже заданного уровня.
- К найденному промежутку добавляют период, чтобы получить все решения.
Частые ошибки одиннадцатиклассника
- Путает амплитуду и период: растянул волну по вертикали и решил, что изменилась частота.
- Сдвигает график не в ту сторону и теряет знак в слагаемом под функцией.
- Решает неравенство как уравнение и берёт только границы, забывая про промежуток.
- Забывает добавить период и оставляет одно решение вместо всех.
- Ищет решение уравнения, где правая часть больше единицы, хотя решений нет.
- Путает чётность синуса и косинуса при подстановке противоположного угла.
- Определяет монотонность «на глаз» по неудачно выбранному куску графика.
Как проверить, что тема закрыта
Попросите построить или описать график функции с множителем перед синусом и с горизонтальным сдвигом и назвать амплитуду и период. Второе задание — решить простейшее тригонометрическое неравенство по графику и записать ответ промежутком. Третье — определить чётность функции и подтвердить вывод свойством синуса или косинуса.
Соответствие программе: федеральная рабочая программа среднего общего образования «Математика. 10–11 классы» (базовый уровень, 2025), курс «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс, раздел «Тригонометрические функции и их графики. Тригонометрические неравенства» (9 ч): тригонометрические функции, их свойства и графики, примеры тригонометрических неравенств.
Разборы этой темы — наши аналоги заданий, а не цитаты из учебника.