Перпендикулярность прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах

Что ребёнок должен понять в этой теме

Вторая большая тема стереометрии — про перпендикулярность в пространстве. Прямая может быть перпендикулярна не другой прямой, а целой плоскости: тогда она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Отсюда вырастают расстояния: от точки до плоскости, от прямой до плоскости, — а также углы между прямой и плоскостью и двугранные углы. Венчает тему теорема о трёх перпендикулярах: она превращает задачу про наклонную в задачу про её проекцию.

Что нужно держать в голове

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Признак позволяет не проверять «все прямые плоскости» — достаточно двух пересекающихся.
• Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.
• Перпендикуляр из точки к плоскости — кратчайшее расстояние до неё, а любая наклонная длиннее перпендикуляра.
• Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость, он не превышает 90 градусов.
• Теорема о трёх перпендикулярах: если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной, и наоборот.
• Двугранный угол измеряют линейным углом, а его градусная мера не зависит от того, где построен линейный угол.

Частые ошибки десятиклассника

• Проверяет перпендикулярность прямой к плоскости по одной прямой плоскости.
• Считает наклонную короче перпендикуляра и получает «отрицательное» расстояние.
• Забывает, что проекция наклонной лежит в плоскости и строится через основание перпендикуляра.
• Применяет теорему о трёх перпендикулярах к прямой, которая не лежит в плоскости.
• Берёт угол между прямой и плоскостью как угол с произвольной прямой плоскости.
• Считает две прямые перпендикулярными, если они просто не пересекаются и «выглядят под прямым углом» на рисунке.

Как проверить, что тема закрыта

Дайте куб и попросите показать, что ребро перпендикулярно плоскости основания, опираясь на признак. Второе задание — задача на перпендикуляр и наклонную: найти длину наклонной через перпендикуляр и проекцию, сопроводив чертежом. Третье — применить теорему о трёх перпендикулярах в кубе и словами объяснить, какие отрезки здесь наклонная и её проекция.

Соответствие программе: федеральная рабочая программа среднего общего образования «Математика. 10–11 классы» (базовый уровень, 2025), курс «Геометрия», 10 класс, раздел «Перпендикулярность прямых и плоскостей» (12 ч): перпендикулярные прямые в пространстве, прямые, параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой, перпендикулярной плоскости, углы в пространстве — угол между прямой и плоскостью, двугранный угол и его линейный угол, перпендикуляр и наклонные, расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость, перпендикулярность плоскостей, теорема о трёх перпендикулярах.

Разборы этой темы — наши аналоги заданий, а не цитаты из учебника.