Условие
Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 12 и наклонная длиной 13. Найди проекцию наклонной на плоскость и объясни, какая из трёх величин самая маленькая.
Что известно и что ищем
- Перпендикуляр, наклонная и её проекция образуют прямоугольный треугольник.
- Перпендикуляр — кратчайший отрезок от точки до плоскости, он лежит против прямого угла вместе с наклонной.
- Проекция соединяет основание перпендикуляра и основание наклонной и лежит в плоскости.
Ход решения
- Шаг 1. Определяем роли отрезков: наклонная — гипотенуза, перпендикуляр и проекция — катеты. Сначала убедимся, что наклонная действительно самая длинная: 13 больше 12.
- Шаг 2. Квадрат проекции находим вычитанием: 169 - 144 = 25.
- Шаг 3. Извлекаем корень: корень из 25 равен 5. Проекция наклонной равна пяти.
- Шаг 4. Проверяем теоремой Пифагора в обратную сторону: 25 + 144 = 169. Сумма квадратов катетов совпала с квадратом наклонной, значит ответ верный.
- Шаг 5. Расставляем величины по длине: перпендикуляр 12, проекция 5, наклонная 13. Самая маленькая — проекция, а перпендикуляр короче любой наклонной из этой точки.
- Шаг 6. Смысл расстояния: если нужно найти расстояние от точки до плоскости, всегда берут длину перпендикуляра, а не наклонной.
Проверь себя
- Наклонная всегда длиннее перпендикуляра: это готовая проверка на грубую ошибку.
- Проекция короче перпендикуляра не всегда — сравнивать нужно конкретные числа.
- В задачах с тройкой чисел полезно помнить пифагоровы наборы: 5, 12, 13.
- Расстояние от точки до плоскости измеряют только по перпендикуляру.
Как объяснить ребёнку
«Наклонная — это лестница по диагонали, перпендикуляр — столб вниз, а проекция — тень столба на полу. Тень и столб — катеты, лестница — самая длинная сторона».
Тема для отчёта родителю
«Перпендикулярность прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.