Условие
В кубе докажи, что боковое ребро, выходящее из вершины нижнего основания, перпендикулярно плоскости нижнего основания.
Что известно и что ищем
- Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
- В кубе каждая грань — квадрат, поэтому соседние рёбра одной грани перпендикулярны.
- Признак избавляет от необходимости проверять все прямые плоскости: хватает двух пересекающихся.
Ход решения
- Шаг 1. Берём боковое ребро, выходящее из выбранной вершины. Оно лежит с двумя рёбрами нижнего основания в двух соседних гранях куба.
- Шаг 2. Каждая соседняя грань — квадрат, значит боковое ребро перпендикулярно обоим рёбрам основания, выходящим из той же вершины.
- Шаг 3. Эти два ребра основания пересекаются в вершине куба и оба лежат в плоскости нижнего основания.
- Шаг 4. Оба условия признака выполнены: прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости. Значит, она перпендикулярна и всей плоскости нижнего основания.
- Шаг 5. Проверим численно для куба с ребром 5. Диагональ основания считаем по сумме квадратов: 25 + 25 = 50, то есть пять корней из двух.
- Шаг 6. Теперь смотрим на треугольник из бокового ребра, ребра основания и диагонали: он прямоугольный, и в нём работает теорема Пифагора. Это подтверждает, что ребро действительно перпендикулярно прямой основания.
- Шаг 7. Вывод: боковое ребро куба перпендикулярно не только диагонали основания, но и любой прямой в его плоскости — именно так и определяется перпендикулярность к плоскости.
Проверь себя
- Одной прямой плоскости для вывода недостаточно: нужны две пересекающиеся.
- «Похоже на рисунке» доказательством не считается.
- Из перпендикулярности прямой к плоскости следует перпендикулярность ко всем прямым плоскости, включая диагонали.
- Проверка теоремой Пифагора хорошо ловит ошибку со знаком или лишним слагаемым.
Как объяснить ребёнку
«Прямая встаёт перпендикулярно плоскости, если она перпендикулярна двум дорогам, которые пересекаются в этой плоскости. Тогда она перпендикулярна и всей площадке».
Тема для отчёта родителю
«Перпендикулярность прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.