Условие
Из точки проведены перпендикуляр к плоскости длиной 6 и наклонная длиной 10. В плоскости через основание перпендикуляра проведена прямая, перпендикулярная проекции наклонной. Докажи, что эта прямая перпендикулярна самой наклонной, и найди длину проекции.
Что известно и что ищем
- Теорема о трёх перпендикулярах связывает три отрезка: перпендикуляр, наклонную и её проекцию.
- Если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и наклонной.
- Верно и обратное утверждение: из перпендикулярности к наклонной следует перпендикулярность к проекции.
Ход решения
- Шаг 1. Называем участников: перпендикуляр, наклонная и её проекция на плоскость. Все три отрезка лежат в одной плоскости, проходящей через наклонную и перпендикуляр.
- Шаг 2. Прямая в плоскости проходит через основание перпендикуляра и перпендикулярна проекции. По теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и самой наклонной.
- Шаг 3. Теперь считаем проекцию. Треугольник из перпендикуляра, наклонной и проекции прямоугольный, поэтому квадрат проекции равен 100 - 36 = 64.
- Шаг 4. Извлекаем корень: корень из 64 равен 8. Проекция наклонной равна восьми.
- Шаг 5. Проверяем теоремой Пифагора: 36 + 64 = 100. Сумма квадратов совпала с квадратом наклонной — расчёт верный.
- Шаг 6. Проговариваем условие применимости: теорема работает, только если перпендикулярность задана к проекции (или к наклонной), а обе прямые лежат в нужной плоскости. «Перпендикулярна чему-то рядом» — недостаточно.
Проверь себя
- Теорема связывает конкретную пару отрезков: наклонную и её проекцию, а не любые два отрезка.
- Прежде чем применять теорему, проверьте, что прямая лежит в плоскости и проходит через основание перпендикуляра.
- В прямоугольном треугольнике гипотенузой всегда служит наклонная.
- Обратное утверждение тоже верно, и им удобно пользоваться для доказательства.
Как объяснить ребёнку
«Прямая в плоскости видит тень наклонной. Если она перпендикулярна тени, значит, перпендикулярна и самой наклонной — как если бы тень и предмет поворачивались вместе».
Тема для отчёта родителю
«Перпендикулярность прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.