Неравенства: линейные, квадратные и с двумя переменными

Что ребёнок должен понять в этой теме

Неравенство в 9 классе перестаёт быть одной строчкой с одной буквой. Появляются квадратные неравенства, которые удобнее всего решать через параболу, системы неравенств, где ответ — пересечение промежутков, и неравенства с двумя переменными, где ответом становится целая область на плоскости. Общее правило одно: решение неравенства — это множество, а не число.

Что нужно держать в голове

• Умножение или деление на отрицательное число переворачивает знак неравенства; сложение знак не меняет.
• Квадратное неравенство решают по графику параболы: смотрят, где ветви выше или ниже оси.
• Если корней у соответствующего уравнения нет, знак выражения одинаков на всей прямой — это и есть ответ.
• Решение системы неравенств — общая часть промежутков; решение совокупности — их объединение.
• Границы бывают включённые и выколотые: это зависит от строгости знака.
• Неравенство с двумя переменными задаёт область; её проверяют контрольной точкой, взятой вне границы.
• Ответ записывают промежутком, а на чертеже показывают штриховкой.

Частые ошибки девятиклассника

• Делит на отрицательное число и забывает перевернуть знак.
• Решает квадратное неравенство как уравнение и выдаёт два числа вместо промежутка.
• Путает пересечение и объединение у системы.
• Закрашивает границу там, где знак строгий.
• Для неравенства с двумя переменными берёт границу прямой вместо целой полуплоскости.
• Проверяет ответ одним удобным числом и не смотрит на второй промежуток.

Как проверить, что тема закрыта

Дайте квадратное неравенство с двумя корнями и попросите решить его через параболу, а не через «правило чередования знаков». Второе задание — система из линейного и квадратного неравенств: в ответе должно получиться пересечение, а контрольная точка из ответа обязана подходить к обоим неравенствам.

Соответствие программе: федеральная рабочая программа основного общего образования «Математика. 5–9 классы» (базовый уровень, 2025), курс «Алгебра», 9 класс, раздел «Уравнения и неравенства. Неравенства» (16 ч): числовые неравенства и их свойства, линейные неравенства с одной переменной и их решение, системы линейных неравенств с одной переменной, квадратные неравенства и их решение, графическая интерпретация неравенств и систем неравенств с двумя переменными.

Разборы этой темы — наши аналоги заданий, а не цитаты из учебника.