Многогранники: призма, параллелепипед, пирамида

Что ребёнок должен понять в этой теме

Многогранники — это первые настоящие пространственные тела в курсе: призма, параллелепипед, пирамида. У каждого свои элементы — основания, боковые грани, рёбра, высота, а у призмы и пирамиды есть ещё площадь поверхности и объём. В 10 классе считают площади боковой и полной поверхности и объём, а развёртка помогает увидеть, из каких плоских фигур складывается тело.

Что нужно держать в голове

• Многогранник состоит из граней-многоугольников; общие стороны граней — это рёбра, а их концы — вершины.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям, поэтому боковые грани — прямоугольники.
• Параллелепипед — призма с параллелограммами в основаниях; у прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники.
• Пирамида правильная, если в основании лежит правильный многоугольник, а высота попадает в его центр.
• Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды; через неё удобно считать боковую поверхность.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы — периметр основания умножить на высоту, а полная поверхность добавляет к ней две площади основания.
• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды — половина произведения периметра основания и апофемы.
• Объём призмы и пирамиды считают через площадь основания и высоту, поэтому при равных основаниях пирамида «вмещает» втрое меньше.

Частые ошибки десятиклассника

• Считает высоту призмы по боковому ребру, не проверив, что призма прямая.
• Путает площадь боковой поверхности с полной и теряет основания.
• Берёт в правильной пирамиде апофему вместо высоты тела или наоборот.
• Считает периметр основания по числу граней, забывая о стороне многоугольника.
• Применяет формулу площади треугольника к боковой грани наклонной призмы.
• Складывает рёбра разной размерности: периметр основания и высоту.
• В задачах на объём забывает, что высота перпендикулярна основанию, и берёт наклонное ребро.

Как проверить, что тема закрыта

Дайте прямую призму с прямоугольным треугольником в основании и попросите найти площадь боковой и полной поверхности, а затем объём. Второе задание — правильная четырёхугольная пирамида: найти боковую поверхность через апофему и показать чертёж. Третье — прямоугольный параллелепипед: вычислить диагональ и объём, объяснив, почему диагональ считается через три измерения.

Соответствие программе: федеральная рабочая программа среднего общего образования «Математика. 10–11 классы» (базовый уровень, 2025), курс «Геометрия», 10 класс, раздел «Многогранники» (11 ч): понятие многогранника и его основные элементы, выпуклые и невыпуклые многогранники, развёртка многогранника, призма, её грани и основания, прямая и наклонная призмы, боковая и полная поверхность призмы, параллелепипед и прямоугольный параллелепипед и его свойства, пирамида, её грани и основание, боковая и полная поверхность пирамиды, правильная и усечённая пирамида, правильные многогранники, сечения призмы и пирамиды, симметрия в пространстве, вычисление элементов многогранников, площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь боковой поверхности и поверхности правильной пирамиды, понятие об объёме, объём пирамиды и призмы.

Разборы этой темы — наши аналоги заданий, а не цитаты из учебника.