Что ребёнок должен понять в этой теме
Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень возвести основание, чтобы получить данное число». Из этого определения вырастают уравнения и неравенства: сначала применяют свойства логарифмов и приводят всё к одному основанию, потом переходят от логарифмов к выражениям под ними. Главная сложность — область допустимых значений: под знаком логарифма всегда стоит только положительное число.
Что нужно держать в голове
- Логарифм по основанию a от числа b — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
- Основание логарифма положительно и не равно единице, а выражение под логарифмом строго положительно.
- Сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения, а разность — логарифм частного.
- Уравнение с одним логарифмом решают переходом к определению: логарифм равен показатель, значит, число равно основанию в этой степени.
- Логарифмическая функция с основанием больше единицы возрастает, с основанием между нулём и единицей убывает.
- В неравенстве знак зависит от основания: при основании больше единицы он сохраняется, при основании меньше единицы — переворачивается.
- ОДЗ пишут до решения: потом найденный корень сравнивают с ограничениями и отбрасывают лишнее.
- Проверка подстановкой — самый надёжный способ отсеять корни, которые не входят в область допустимых значений.
Частые ошибки одиннадцатиклассника
- Решает уравнение и забывает проверить ОДЗ, оставляя лишний корень.
- Считает, что сумма логарифмов равна логарифму суммы.
- При переходе к выражению под логарифмом теряет условие положительности.
- В неравенстве не переворачивает знак при основании меньше единицы.
- Путает основание и аргумент логарифма и подставляет числа не туда.
- Применяет переход к новому основанию и путает, что при этом меняется местами.
- Отбрасывает корень, который на самом деле входит в ОДЗ, из-за неаккуратного сравнения.
Как проверить, что тема закрыта
Попросите решить простейшее логарифмическое уравнение и обязательно проверить корень подстановкой. Второе задание — логарифмическое неравенство с ОДЗ: пусть ребёнок сначала выпишет ограничения, а потом решит. Третье — преобразовать выражение с суммой логарифмов и объяснить, какие свойства использованы.
Соответствие программе: федеральная рабочая программа среднего общего образования «Математика. 10–11 классы» (базовый уровень, 2025), курс «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс, раздел «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства» (12 ч): логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы, преобразование выражений, содержащих логарифмы, логарифмические уравнения и неравенства, логарифмическая функция, её свойства и график.
Разборы этой темы — наши аналоги заданий, а не цитаты из учебника.