Условие
Вычисли значение выражения: логарифм четырёх по основанию два плюс логарифм восьми по основанию два.
Что известно и что ищем
- Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения.
- Каждый логарифм можно посчитать отдельно по определению.
- Складывать можно только логарифмы с одинаковым основанием.
- Результат проверяют обратным действием — возведением основания в найденную степень.
Ход решения
- Шаг 1. Первый логарифм равен двум, потому что два в квадрате даёт четыре.
- Шаг 2. Второй логарифм равен трём, потому что два в кубе даёт восемь.
- Шаг 3. Складываем: 2 + 3 = 5.
- Шаг 4. Проверяем по свойству логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм произведения.
- Шаг 5. Считаем произведение: 4 * 8 = 32, то есть два в пятой степени.
- Шаг 6. Значит, логарифм тридцати двух по основанию два равен пяти — ответ сходится.
- Шаг 7. Контроль на типичную ошибку: 2 + 3 даёт пять, а логарифм от суммы четырёх и восьми, то есть от двенадцати, равен другому числу — так делать нельзя.
Проверь себя
- Свойство сложения работает только при одинаковых основаниях.
- Сумма логарифмов — это не логарифм суммы, это самая частая ошибка.
- Каждый логарифм полезно посчитать отдельно, а потом сложить.
- Проверка возведением основания в степень подтверждает результат.
Как объяснить ребёнку
«Когда логарифмы с одним и тем же основанием складывают, числа под ними перемножают. Это как сложить два вопроса о степенях в один общий вопрос».
Тема для отчёта родителю
«Логарифмические уравнения и неравенства: свойства логарифма и ОДЗ».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.