Условие
Реши неравенство: логарифм выражения «икс минус два» по основанию три меньше единицы.
Что известно и что ищем
- Под знаком логарифма стоит только положительное число — это область допустимых значений.
- Единицу удобно представить логарифмом трёх по основанию три.
- При основании больше единицы знак неравенства сохраняется.
- Итоговый промежуток должен пересечься с областью допустимых значений.
Ход решения
- Шаг 1. Первым делом выписываем область допустимых значений: выражение под логарифмом положительно, значит икс больше двух.
- Шаг 2. Переписываем единицу как логарифм трёх по основанию три, чтобы уравнять основания.
- Шаг 3. Основание три больше единицы, значит функция возрастает и знак неравенства сохраняется.
- Шаг 4. Сравниваем аргументы: выражение «икс минус два» меньше трёх, то есть икс меньше пяти.
- Шаг 5. Объединяем с областью допустимых значений: икс больше двух и меньше пяти.
- Шаг 6. Записываем ответ промежутком от двух до пяти, обе границы не входят.
- Шаг 7. Проверка точкой из середины: подставляем икс, равный четырём, — и неравенство выполняется.
Проверь себя
- Область допустимых значений выписывают до решения, а не после.
- При основании меньше единицы знак неравенства переворачивается.
- Логарифм единицы по любому основанию равен нулю, логарифм самого основания равен единице.
- Ответ без учёта области допустимых значений легко расширить лишними числами.
Как объяснить ребёнку
«Логарифм по большому основанию растёт вместе с числом: больше число — больше логарифм. Знак не переворачивается. Но сначала проверь, что число вообще разрешено — под логарифмом оно должно быть положительным».
Тема для отчёта родителю
«Логарифмические уравнения и неравенства: свойства логарифма и ОДЗ».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.