Квадратные уравнения: дискриминант и теорема Виета

Что ребёнок должен понять в этой теме

Квадратное уравнение — это уравнение, где буква стоит во второй степени. Формула корней через дискриминант работает всегда, а теорема Виета позволяет быстро проверить найденные корни или обойтись без дискриминанта, когда коэффициенты простые. Отдельная линия — текстовые задачи, которые сводятся к квадратному уравнению.

Что нужно держать в голове

• Уравнение приводят к виду с тремя коэффициентами: при квадрате переменной, при первой степени и свободный член.
• Дискриминант показывает число корней: положительный — два корня, нулевой — один, отрицательный — корней нет.
• Формулу корней подставляют только после того, как посчитан дискриминант.
• По теореме Виета сумма корней приведённого уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.
• Неполные уравнения решают разложением на множители или переносом, без формулы корней.
• Отрицательный корень в задаче про длину, возраст или количество отбрасывают — по смыслу.

Частые ошибки восьмиклассника

• Теряет знак минус при подстановке отрицательного коэффициента в формулу.
• Ошибается в знаке дискриминанта и делает неверный вывод о числе корней.
• Делит на старший коэффициент, а не на его удвоенное значение.
• Записывает один корень там, где их два.
• В текстовой задаче не проверяет корень по условию.

Как проверить, что тема закрыта

Дайте уравнение с ненулевыми коэффициентами и попросите решить двумя способами: через дискриминант и через теорему Виета — ответы обязаны совпасть. Второй шаг — неполное уравнение, которое решается вынесением общего множителя.

Соответствие программе: федеральная рабочая программа основного общего образования «Математика. 5–9 классы» (базовый уровень, 2025), курс «Алгебра», 8 класс, раздел «Уравнения и неравенства. Квадратные уравнения» (15 ч): квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения, теорема Виета, решение уравнений, сводящихся к квадратным, простейшие дробно-рациональные уравнения, решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений.

Разборы этой темы — наши аналоги заданий, а не цитаты из учебника.