Формулы тригонометрии: окружность, тождества, преобразования

Что ребёнок должен понять в этой теме

Тригонометрия в 10 классе переезжает с прямоугольного треугольника на числовую окружность. Угол теперь можно откладывать в любую сторону и на любое число оборотов, а синус и косинус становятся координатами точки на окружности. Дальше из этого определения вырастают рабочие формулы: основное тождество, формулы приведения, сложения и двойного угла. Их не заучивают вслепую — каждую можно вывести и проверить на окружности.

Что нужно держать в голове

• Радианная мера связывает угол с длиной дуги: полный оборот — это два пи радиана, а развёрнутый угол — пи.
• На числовой окружности синус — это координата по вертикали, а косинус — по горизонтали, поэтому каждая из них не выходит за пределы от минус единицы до единицы.
• Знак синуса и косинуса определяется четвертью, в которой оказалась точка.
• Основное тождество связывает квадрат синуса и квадрат косинуса одного и того же угла.
• Формулы приведения меняют функцию на «дополнительную» и, возможно, знак: половина оборота смещает точку в противоположную, и обе координаты меняют знак.
• Формулы сложения позволяют раскрыть синус и косинус суммы и разности углов, а формулы двойного угла — частный случай формул сложения.
• Полный оборот и любой целый оборот возвращают точку на место, поэтому ко всем решениям добавляется целое число периодов.

Частые ошибки десятиклассника

• Считает, что синус угла из третьей четверти положителен, и теряет знак.
• Путает радианную и градусную меру в одной записи.
• Применяет формулу приведения, не проверяя, меняется ли сама функция на «дополнительную».
• В формулах сложения раскрывает сумму так, будто синус и косинус — обычные множители.
• Забывает про период и оставляет только один ответ.
• Пользуется формулой двойного угла для косинуса, теряя вариант с квадратами.

Как проверить, что тема закрыта

Попросите перевести угол из градусов в радианы и обратно, отметив точку на окружности, и объяснить знаки синуса и косинуса для каждого угла. Второе задание — упростить тригонометрическое выражение, где работают основное тождество и формулы приведения. Третье — вычислить значение выражения с двойным углом, показав, какая формула применена.

Соответствие программе: федеральная рабочая программа среднего общего образования «Математика. 10–11 классы» (базовый уровень, 2025), курс «Алгебра и начала математического анализа», 10 класс, раздел «Формулы тригонометрии. Тригонометрические уравнения» (22 ч): синус, косинус и тангенс числового аргумента, арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента, тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента, основные тригонометрические формулы, преобразование тригонометрических выражений, решение тригонометрических уравнений.

Разборы этой темы — наши аналоги заданий, а не цитаты из учебника.