Условие
Переведи в радианы углы 90, 180 и 270 градусов. Затем определи знаки синуса и косинуса для угла 120 градусов и объясни ответ по числовой окружности.
Что известно и что ищем
- Радианная мера связывает угол с длиной дуги окружности.
- Развёрнутый угол равен пи радиан, полный оборот — двум пи.
- На числовой окружности косинус — горизонтальная координата точки, синус — вертикальная.
- Знак координаты определяется четвертью, в которой оказалась точка.
Ход решения
- Шаг 1. Переводим градусы в радианы умножением на пи и делением на 180. Для 90 градусов получаем пи пополам, для 180 — пи, для 270 — три пи пополам.
- Шаг 2. Проверим пропорцию на «круглых» числах: 180 / 90 = 2, значит в развёрнутом угле ровно два прямых. И 270 / 90 = 3 — в трёх четвертях круга три прямых угла.
- Шаг 3. Ставим угол 120 градусов на окружность. Это больше прямого угла, но меньше развёрнутого, значит точка оказалась во второй четверти: выше горизонтальной оси и левее вертикальной.
- Шаг 4. Читаем знаки по координатам: вертикальная координата положительна, значит синус положителен; горизонтальная отрицательна, значит косинус отрицателен.
- Шаг 5. Проверяем себя таблицей: синус 120 градусов равен синусу 60 градусов, то есть корню из трёх пополам, а косинус 120 градусов равен минус одной второй.
- Шаг 6. Общее правило: у любой точки окружности обе координаты не выходят за пределы от минус единицы до единицы, поэтому значения синуса и косинуса всегда лежат в этом промежутке.
Проверь себя
- Градусы и радианы в одной записи не смешивают: выберите одну меру и придерживайтесь её.
- Полный оборот возвращает точку на место, поэтому к любому углу можно добавить целое число оборотов.
- Знак функции — это знак координаты, а не «плюс-минус на всякий случай».
- Корень из трёх пополам — табличное значение для угла 60 градусов, его удобно держать в голове.
Как объяснить ребёнку
«Окружность — это циферблат, а угол — стрелка. Куда стрелка показывает, такие у точки и координаты: влево — косинус с минусом, вниз — синус с минусом».
Тема для отчёта родителю
«Формулы тригонометрии: окружность, тождества, преобразования».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.