Условие
Известно, что угол острый, его синус равен трём пятым, а косинус — четырём пятым. Найди синус и косинус двойного угла.
Что известно и что ищем
- Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса того же угла.
- Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса и квадрата синуса.
- Формулы двойного угла — частный случай формул сложения, когда оба слагаемых угла одинаковы.
Ход решения
- Шаг 1. Сначала проверим исходные данные основным тождеством: 9 + 16 = 25. Сумма квадратов числителей равна квадрату знаменателя — значит, такой угол действительно существует.
- Шаг 2. Считаем синус двойного угла. Перемножаем числители: 2 3 4 = 24. Знаменатель — произведение знаменателей: 5 * 5 = 25. Получаем дробь двадцать четыре двадцать пятых.
- Шаг 3. Считаем косинус двойного угла. В числителе разность квадратов: 16 - 9 = 7. Знаменатель снова 5 * 5 = 25. Получаем семь двадцать пятых.
- Шаг 4. Оба значения лежат между нулём и единицей, что для острого угла и его двойника нормально: двойной угол здесь остаётся меньше развёрнутого.
- Шаг 5. Проговорим формулы сложения словами: синус суммы двух углов — это синус первого на косинус второго плюс косинус первого на синус второго. Косинус суммы — разность двух произведений в обратном порядке.
- Шаг 6. Прикидка для проверки: двадцать четыре двадцать пятых — почти единица, и это правдоподобно, ведь двойной угол заметно больше исходного и его синус близок к наибольшему значению.
Проверь себя
- Формулы сложения раскрывают сумму целиком: покомпонентно перемножать нельзя.
- Проверка основным тождеством отсеивает противоречивые условия ещё до счёта.
- Знаменатель у синуса и косинуса двойного угла одинаков, если исходные дроби имели общий знаменатель.
- Полезно прикидывать результат: значения синуса и косинуса всегда лежат между минус единицей и единицей.
Как объяснить ребёнку
«Формула двойного угла — это та же формула сложения, только оба угла совпали. Синус вырос из произведения, косинус — из разности квадратов».
Тема для отчёта родителю
«Формулы тригонометрии: окружность, тождества, преобразования».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.