Условие
Найди синус 150 градусов и косинус 120 градусов, приведя оба угла к острым. Объясни, почему знаки получились именно такими.
Что известно и что ищем
- Формулы приведения заменяют угол из любой четверти острым углом.
- Половинный оборот (180 градусов) переводит точку в противоположную, поэтому обе координаты меняют знак.
- Функция при этом может смениться на «дополнительную»: синус на косинус и наоборот.
Ход решения
- Шаг 1. Разбираем первый угол на «половина оборота минус лишнее»: 180 - 30 = 150. Значит, угол 150 градусов получается из 30 градусов откладыванием от развёрнутого угла.
- Шаг 2. Разбираем второй угол так же: 180 - 60 = 120.
- Шаг 3. Формула приведения для синуса: если угол получен от развёрнутого, синус равен синусу дополнительного угла с плюсом. Поэтому синус 150 градусов равен синусу 30 градусов, то есть одной второй.
- Шаг 4. Формула для косинуса: в этом случае косинус равен косинусу дополнительного угла, но с минусом. Косинус 60 градусов — одна вторая, значит косинус 120 градусов равен минус одной второй.
- Шаг 5. Проверяем по окружности. Углы 30 и 150 симметричны относительно вертикальной оси, поэтому горизонтальные координаты у них противоположны, а вертикальные совпадают: косинусы разошлись по знаку, синусы — нет.
- Шаг 6. Вывод: мнемоника «если откладываем от развёрнутого — меняем знак, функция остаётся прежней» работает, но её лучше каждый раз подтверждать рисунком.
Проверь себя
- Сначала определяют четверть, и лишь потом выбирают знак — наоборот получается ошибка.
- Формула приведения меняет функцию только для углов, отложенных от вертикальной оси.
- Табличные значения для 30, 45 и 60 градусов стоит помнить: через них выражается почти весь остальной набор.
- Симметрия по окружности — самая надёжная проверка формулы приведения.
Как объяснить ребёнку
«Формулы приведения — это переходник: вместо косинуса 120 берём косинус 60, только ставим минус, потому что точка ушла влево. Смотри на рисунок и решай, где минус, а где плюс».
Тема для отчёта родителю
«Формулы тригонометрии: окружность, тождества, преобразования».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.