Условие
По формуле y = -x² + 4x определи направление ветвей, найди нули функции и точку пересечения графика с осью ординат.
Что известно и что ищем
- Нули функции — это значения переменной, при которых значение функции обращается в нуль.
- Точка пересечения с осью ординат получается при нулевом значении переменной.
- Знак коэффициента при квадрате полностью определяет, куда «смотрят» ветви.
Ход решения
- Шаг 1. При квадрате стоит коэффициент -1, то есть отрицательный. Значит, ветви направлены вниз.
- Шаг 2. Ищем нули: приравниваем выражение к нулю и выносим переменную за скобку. Получаем произведение двух множителей, значит, нули — это 0 и 4.
- Шаг 3. Отдельно проверим скобку: она обращается в нуль при 4, и тогда значение функции равно нулю, потому что -16 + 16 = 0.
- Шаг 4. Пересечение с осью ординат ищем при нулевом значении переменной: получаем 0. Эта точка совпала с первым нулём — график проходит в начало координат.
- Шаг 5. Абсцисса вершины: второй коэффициент равен 4, удвоенный первый равен -2, и в частном получается 2 — ровно посередине между нулями.
- Шаг 6. Ордината вершины: подставляем 2 в формулу, получаем -4 + 8 = 4. Прикидка: ветви вниз, вершина выше оси, наибольшее значение равно 4.
Проверь себя
- Отрицательный коэффициент при квадрате обязательно разворачивает ветви вниз.
- Вынесение множителя за скобку — самый быстрый способ найти нули, когда свободного члена нет.
- Совпадение нуля функции с точкой на оси ординат — норма, а не ошибка: график просто проходит через начало координат.
- Проверяйте вершину по симметрии нулей: она стоит ровно между ними.
Как объяснить ребёнку
«Знак перед квадратом — это команда: минус разворачивает параболу вниз. Ветви вниз — значит, есть самая высокая точка, и это как раз вершина».
Тема для отчёта родителю
«Квадратичная функция: парабола, вершина и свойства».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.