Условие
Реши уравнение: удвоенный синус переменной минус единица равен нулю. Запиши общее решение и перечисли две первые серии корней.
Что известно и что ищем
- Уравнение пока не простейшее: мешают коэффициент и свободный член.
- Сначала функцию уединяют, потом решают простейшее уравнение.
- У синуса на окружности тоже две ветви решений.
- Общее решение записывают с целым числом оборотов.
Ход решения
- Шаг 1. Переносим свободный член: к нулю прибавляем единицу, справа получается единица.
- Шаг 2. Делим обе части на коэффициент 2. Получаем простейшее уравнение: синус переменной равен одной второй.
- Шаг 3. Вспоминаем таблицу: синус равен одной второй у угла 30 градусов, то есть у пи шестых.
- Шаг 4. Вторая ветвь: синус — вертикальная координата, вторая точка симметрична относительно вертикальной оси. Проверим сумму углов: 30 + 150 = 180, то есть второй угол равен 150 градусам, а в радианах — пяти пи шестым.
- Шаг 5. Записываем общее решение: пи шестых плюс два пи ка и пять пи шестых плюс два пи ка.
- Шаг 6. Проверяем подстановкой первого ответа: синус 30 градусов равен одной второй, удвоенная даёт единицу, а единица минус единица даёт ноль. Всё сходится.
- Шаг 7. Проверяем вторую серию: синус 150 градусов тоже равен одной второй, потому что 5 * 30 = 150 и симметрия сохраняет значение синуса.
Проверь себя
- Делить на коэффициент можно только тогда, когда он не равен нулю.
- Нельзя делить на выражение с функцией: вместе с ним уйдут целые серии решений.
- Две ветви у синуса связаны суммой в развёрнутый угол — это удобная проверка.
- Ответ без целого числа оборотов описывает только часть решений.
Как объяснить ребёнку
«Сначала расчисти место: убери лишние числа, оставь синус один. Потом ищи два угла с такой высотой — и не забудь добавить обороты, ведь круг можно пройти сколько угодно раз».
Тема для отчёта родителю
«Тригонометрические уравнения».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.