Условие
Окружность задана уравнением, в котором квадраты обеих переменных записаны вместе с их первыми степенями и свободным членом. Найди центр и радиус окружности и проверь, лежит ли на ней точка с координатами 7 и -1.
Что известно и что ищем
- Уравнение окружности удобно читать, когда слева стоят полные квадраты разностей.
- Полный квадрат выделяют из части с одной переменной, добавляя и вычитая нужное число.
- Радиус равен квадратному корню из правой части уравнения.
Ход решения
- Шаг 1. Группируем слагаемые с первой переменной и отдельно со второй, свободный член переносим вправо.
- Шаг 2. Выделяем полный квадрат для первой переменной: получается квадрат разности, а лишняя девятка уходит в правую часть.
- Шаг 3. Выделяем полный квадрат для второй переменной: получается квадрат суммы, лишняя четвёрка тоже уходит вправо.
- Шаг 4. Складываем правую часть: 9 + 4 + 12 = 25. Это квадрат радиуса.
- Шаг 5. Радиус равен корню из 25, то есть 5. Центр окружности — точка с координатами 3 и -2.
- Шаг 6. Проверяем точку с координатами 7 и -1: её расстояние по квадратам до центра равно 16 + 9 = 25, а это ровно квадрат радиуса. Точка лежит на окружности.
Проверь себя
- Знак координаты центра противоположен знаку слагаемого внутри скобки: минус в скобке даёт плюс в координате.
- Про радиус не забудьте: правая часть — это квадрат радиуса, а не сам радиус.
- Проверка точки подстановкой — быстрый способ поймать ошибку в выделении полного квадрата.
- Если правая часть после выделения квадратов отрицательна, окружности не существует.
Как объяснить ребёнку
«Уравнение окружности — это зашифрованный адрес центра и длина верёвки. Выделив полные квадраты, мы расшифровываем адрес, а корень из правой части говорит, какая это верёвка».
Тема для отчёта родителю
«Метод координат: уравнение прямой и окружности».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.