Условие
Функция задана квадратом переменной. Запиши уравнение касательной к её графику в точке с абсциссой три и объясни, что означает производная в этой записи.
Что известно и что ищем
- Формула касательной связывает значение функции и значение производной в точке касания.
- Производная в точке — это угловой коэффициент касательной, то есть её наклон.
- Точку касания берут из абсциссы: по ней считают и координату точки, и значение производной.
Ход решения
- Шаг 1. По абсциссе три находим координату точки касания: 3 * 3 = 9, значит точка — с абсциссой три и ординатой девять.
- Шаг 2. Находим производную квадрата: она равна двум икс.
- Шаг 3. Считаем значение производной в точке три: 2 * 3 = 6.
- Шаг 4. Это и есть наклон касательной: прямая поднимается на шесть единиц при сдвиге вправо на одну.
- Шаг 5. Подставляем всё в формулу касательной: значение функции плюс наклон, умноженный на разность переменной и абсциссы точки.
- Шаг 6. Раскрываем скобки: получаем прямую, у которой угловой коэффициент шесть, а свободный член минус девять.
- Шаг 7. Проверка: подставим абсциссу три в уравнение касательной — получаем 6 * 3 - 9 = 9, что совпадает со значением функции в точке касания.
Проверь себя
- Производная в точке — это наклон, а не координата точки касания.
- Точку подставляют в саму функцию, а в производную подставляют только абсциссу.
- В формуле касательной обязательно стоит разность переменной и абсциссы точки.
- Подстановка абсциссы в готовую касательную должна вернуть координату точки — хороший контроль.
Как объяснить ребёнку
«Касательная — это прямая, которая в выбранной точке лишь прикасается к графику, как лыжня к склону. Производная подсказывает, насколько круто идёт склон именно здесь, — это и есть наклон касательной».
Тема для отчёта родителю
«Производная и её применение: скорость, касательная, экстремумы».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.