Условие
Сторона треугольника равна 6, а противолежащий ей угол равен 30 градусам. Найди радиус описанной около треугольника окружности.
Что известно и что ищем
- Теорема синусов связывает сторону треугольника с синусом противолежащего угла.
- То же отношение равно удвоенному радиусу описанной окружности.
- Сторона и угол должны быть противолежащими: сторона лежит напротив того самого угла.
Ход решения
- Шаг 1. Выписываем данные: сторона равна 6, противолежащий угол равен 30 градусам.
- Шаг 2. Синус угла в 30 градусов равен одной второй.
- Шаг 3. Отношение стороны к синусу угла: делим 6 на одну вторую, получаем 12.
- Шаг 4. Это отношение равно удвоенному радиусу, значит, радиус равен половине: 6.
- Шаг 5. Проверяем по смыслу: диаметр описанной окружности равен 12, а сторона 6 вдвое меньше диаметра — именно так и должно быть для угла в 30 градусов.
- Шаг 6. Прикидка: сторона не может быть больше диаметра; шесть меньше двенадцати, всё в порядке.
Проверь себя
- Если взять смежный угол или угол при другой стороне, теорема синусов даст неверный ответ.
- Синус тупого угла положителен, поэтому теорема работает и для тупоугольных треугольников.
- Полученный радиус удобно сверить со второй парой «сторона — угол», если она известна.
- Диаметр всегда не меньше любой стороны треугольника — простейшая проверка на грубую ошибку.
Как объяснить ребёнку
«Описанная окружность проходит через все три вершины. Теорема синусов говорит: любая сторона связана с углом напротив неё, и через это отношение виден размер окружности».
Тема для отчёта родителю
«Теоремы косинусов и синусов: решение треугольников».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.