Условие
Две стороны треугольника равны 5 и 8, а угол между ними равен 60 градусам. Найди третью сторону.
Что известно и что ищем
- Теорема косинусов связывает три стороны треугольника и один угол между ними.
- Квадрат искомой стороны равен сумме квадратов двух известных сторон минус удвоенное их произведение на косинус угла между ними.
- Косинус угла в 60 градусов равен одной второй.
Ход решения
- Шаг 1. Складываем квадраты известных сторон: 25 + 64 = 89.
- Шаг 2. Считаем удвоенное произведение сторон: 2 5 8 = 80.
- Шаг 3. Умножаем на косинус угла между сторонами: 80 умножаем на одну вторую и получаем 40.
- Шаг 4. Вычитаем: 89 - 40 = 49. Это квадрат третьей стороны.
- Шаг 5. Извлекаем корень: корень из 49 равен 7. Третья сторона равна 7.
- Шаг 6. Проверяем прикидкой: третья сторона больше разности двух других, потому что 8 - 5 = 3, и меньше их суммы, потому что 8 + 5 = 13. Семёрка лежит между ними — ответ правдоподобен.
Проверь себя
- Частая ошибка — забыть удвоить произведение сторон.
- В формулу идёт косинус именно того угла, который лежит между известными сторонами.
- Если угол прямой, косинус равен нулю и теорема превращается в теорему Пифагора: отличная проверка.
- Для тупого угла косинус отрицателен, поэтому вычитаемое становится отрицательным и сторона получается длиннее.
Как объяснить ребёнку
«Теорема косинусов — это теорема Пифагора, которой разрешили работать с любым углом. Прямой угол добавляет ноль, а острый или тупой — поправку через косинус».
Тема для отчёта родителю
«Теоремы косинусов и синусов: решение треугольников».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.