Условие
Упрости выражение: корень четвёртой степени из произведения числа 16 и четвёртой степени переменной. Затем вычисли корень из 81 и корень из 144 и объясни, почему ответы именно такие.
Что известно и что ищем
- Корень из произведения равен произведению корней той же степени.
- Множитель выносят из-под корня, когда его показатель делится на показатель корня.
- Корень чётной степени неотрицателен по определению.
Ход решения
- Шаг 1. Число 16 — это четвёртая степень двойки: 2 2 2 * 2 = 16. Значит, корень четвёртой степени из 16 равен 2.
- Шаг 2. Второй множитель — переменная в четвёртой степени. Показатель степени совпал с показателем корня, поэтому корень извлекается ровно: из-под корня выходит сама переменная.
- Шаг 3. Собираем ответ: произведение корней — это 2, умноженное на переменную. Выражение упрощено полностью, потому что под корнем ничего не осталось.
- Шаг 4. Проверяем на других числах. Корень из 81 равен 9, потому что 9 * 9 = 81.
- Шаг 5. Корень из 144 равен 12, потому что 12 * 12 = 144.
- Шаг 6. Обратите внимание: в первом примере корень был четвёртой степени, а в проверочных — второй. Правило вынесения множителя работает для любой степени, меняется только делитель показателя.
Проверь себя
- Показатель степени делим на показатель корня — частное и есть степень вынесенного множителя.
- Корень чётной степени не бывает отрицательным, даже если внутри стояло большое число.
- Проверка возведением в степень — самый быстрый способ убедиться в ответе.
- Из-под корня выносят только те множители, чей показатель делится на показатель корня.
Как объяснить ребёнку
«Корень и степень — соперники: если степень делится на корень, число выходит наружу целым. Двойка в четвёртой степени под корнем четвёртой степени — просто двойка».
Тема для отчёта родителю
«Корень n-й степени и иррациональные уравнения».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.