Условие
Геометрическая прогрессия начинается с восьмёрки, а каждый следующий её член вдвое меньше предыдущего. Найди сумму всех её членов и подтверди ответ частичными суммами.
Что известно и что ищем
- Знаменатель прогрессии — отношение любого члена к предыдущему; здесь он равен одной второй.
- Если знаменатель по модулю меньше единицы, прогрессия бесконечно убывающая и её члены стремятся к нулю.
- Сумма всех членов такой прогрессии — конечное число, а не бесконечность.
Ход решения
- Шаг 1. Смотрим на знаменатель: он равен одной второй, а это меньше единицы. Значит, сумма всех членов существует.
- Шаг 2. Считаем сумму по формуле: первый член делим на разность между единицей и знаменателем. Подставляем: 8 : (1 - 1/2) = 16. Все члены вместе дают 16.
- Шаг 3. Проверяем частичными суммами, чтобы убедиться в правдоподобии. Первые четыре члена: 8 + 4 + 2 + 1 = 15.
- Шаг 4. Добавляем ещё половину — получаем пятнадцать с половиной. Каждый следующий член уменьшает разрыв с числом 16 вдвое, но никогда не перешагивает его.
- Шаг 5. Прикидка: сумма обязана быть больше первого члена и меньше, чем первый член, умноженный на два. Шестнадцать как раз вдвое больше восьми — сходится.
- Шаг 6. Смысл: члены убывают так быстро, что «хвост» прогрессии исчерпывается конечным суммарным вкладом.
Проверь себя
- Формула бесконечной суммы работает только при знаменателе по модулю меньше единицы.
- Сумма всегда больше первого члена — это быстрая проверка на грубую ошибку.
- Частичные суммы подходят к ответу снизу, если все члены положительны.
- Знаменатель — это отношение, а не разность соседних членов.
Как объяснить ребёнку
«Представь, что ешь пирог и каждый раз оставляешь вдвое меньше. Все кусочки вместе — это ровно один пирог, хотя кусочков бесконечно много».
Тема для отчёта родителю
«Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сложные проценты».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.