Условие
На полке пять разных книг. Сколькими способами их можно расставить в ряд? И сколькими способами можно выбрать две книги из этих пяти, если порядок не важен?
Что известно и что ищем
- Перестановки учитывают порядок, поэтому пересчитывают все расстановки.
- Сочетания порядок не учитывают, поэтому считают только наборы.
- Факториал — произведение всех чисел от единицы до данного.
- В числе сочетаний деление убирает лишний учёт порядка.
Ход решения
- Шаг 1. Расстановка книг в ряд — это про порядок, значит считаем перестановки.
- Шаг 2. Перемножаем все числа от единицы до пяти: 4 3 2 * 1 = 24.
- Шаг 3. Получаем ответ для расстановки: двадцать четыре способа.
- Шаг 4. Выбор двух книг порядок не учитывает, значит считаем число сочетаний.
- Шаг 5. Считаем: 5 * 4 / 2 = 10.
- Шаг 6. Получаем ответ для выбора: десять наборов.
- Шаг 7. Подчёркиваем разницу: перестановки отвечают на вопрос «в каком порядке», сочетания — «какие именно предметы».
Проверь себя
- Перестановки учитывают порядок, сочетания — нет.
- Деление в формуле сочетаний убирает повторный учёт одного и того же набора.
- Факториал растёт очень быстро: уже для пяти предметов это двадцать четыре.
- Число сочетаний удобно сверять по треугольнику Паскаля.
Как объяснить ребёнку
«Расставить книги в ряд — это про порядок, поэтому вариантов много. А выбрать две книги — это про набор: поменяешь их местами, а набор тот же, поэтому вариантов меньше».
Тема для отчёта родителю
«Элементы комбинаторики и вероятности: правило умножения, сочетания, шанс».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.