Условие
В кубе взяты две прямые: первая — диагональ боковой грани, вторая — диагональ соседней боковой грани. Прямые не пересекаются и не параллельны. Найди угол между ними.
Что известно и что ищем
- Угол между прямыми в пространстве — это угол между прямыми, параллельными им и проведёнными через одну точку.
- Угол между скрещивающимися прямыми не превышает 90 градусов.
- У куба все грани — равные квадраты, поэтому диагонали граней равны между собой.
Ход решения
- Шаг 1. Отмечаем, что прямые лежат в разных гранях и общих точек не имеют — значит, они скрещивающиеся. Угла «напрямую» между ними нет, его нужно переносить.
- Шаг 2. Переносим первую прямую параллельно самой себе в удобную точку. Диагональ одной боковой грани параллельна диагонали противоположной боковой грани — у куба эти грани параллельны, и их диагонали сонаправлены.
- Шаг 3. Теперь обе прямые проходят через общую вершину: одна из них — перенесённая диагональ, вторая — диагональ соседней грани. Они и две другие диагонали граней образуют треугольник.
- Шаг 4. Все три стороны этого треугольника — диагонали граней куба, а диагонали граней равны. Значит, треугольник равносторонний.
- Шаг 5. Считаем угол: сумма углов треугольника 180 градусов, делим на три: 180 / 3 = 60. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60 градусам — это и есть ответ.
- Шаг 6. Проверяем ограничение: угол между скрещивающимися прямыми не должен превышать 90 градусов. Шестьдесят подходит, ответ не «перевёрнут».
Проверь себя
- Переносить прямую можно только параллельно самой себе — иначе меняется угол.
- Удобно выбирать точку переноса так, чтобы обе прямые легли в одну грань или в один треугольник.
- Диагонали граней куба равны — из этого сразу следует равносторонний треугольник.
- Угол между прямыми берут не больше 90 градусов: если получилось 120, ответом будет 60.
Как объяснить ребёнку
«Скрещивающиеся прямые — как две дороги на разных этажах: они не встретятся, но угол между ними есть. Мысленно переносим одну дорогу к другой и смотрим, какой угол получился».
Тема для отчёта родителю
«Стереометрия: параллельность прямых и плоскостей».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.