Условие
Векторы заданы координатами: первый — 3 и 1, второй — 1 и 3. Найди скалярное произведение векторов и определи, чему равен угол между ними: острому, прямому или тупому.
Что известно и что ищем
- Скалярное произведение в координатах — сумма произведений одноимённых координат.
- Через скалярное произведение находят длины векторов и косинус угла между ними.
- Знак скалярного произведения сразу говорит о величине угла.
Ход решения
- Шаг 1. Перемножаем одноимённые координаты: 3 1 = 3 и 1 3 = 3.
- Шаг 2. Складываем: 3 + 3 = 6. Скалярное произведение равно 6.
- Шаг 3. Находим квадрат длины первого вектора: 9 + 1 = 10.
- Шаг 4. Квадрат длины второго вектора тоже равен 10 — векторы одинаковой длины.
- Шаг 5. Косинус угла — это скалярное произведение, делённое на произведение длин: получаем отношение 6 к 10, то есть шесть десятых.
- Шаг 6. Косинус положителен, значит, угол острый — примерно 53 градуса. Прикидка: векторы направлены почти одинаково, поэтому угол меньше прямого.
Проверь себя
- Скалярное произведение — это число, а не вектор: не путайте его с умножением вектора на число.
- Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Так, у векторов 3 и 4, а также 4 и -3 получаем 12 - 12 = 0 — они перпендикулярны.
- Отрицательное скалярное произведение говорит о тупом угле.
- Угол удобно проверять прикидкой по чертежу: если векторы «смотрят» в одну сторону, угол острый.
Как объяснить ребёнку
«Скалярное произведение спрашивает у двух векторов: работаете ли вы в одну сторону? Большое положительное число — значит, почти вместе. Ноль — значит, строго врозь, под прямым углом».
Тема для отчёта родителю
«Векторы: действия, координаты, скалярное произведение».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.