Условие
Радиус шара равен пяти, расстояние от центра шара до секущей плоскости равно трём. Найди радиус сечения и объясни, почему сечение — круг.
Что известно и что ищем
- Сечение шара плоскостью всегда круг.
- Радиус шара, расстояние до плоскости и радиус сечения образуют прямоугольный треугольник.
- Радиус шара — гипотенуза, расстояние и радиус сечения — катеты.
- Самый большой круг получается при центральном сечении.
Ход решения
- Шаг 1. Напоминаем: сечение шара плоскостью — всегда круг, ведь все точки на одном расстоянии от центра дают окружность.
- Шаг 2. Строим прямоугольный треугольник: центр шара, центр сечения и точка края сечения.
- Шаг 3. По теореме Пифагора квадрат радиуса шара равен сумме квадратов расстояния и радиуса сечения.
- Шаг 4. Считаем квадраты: 5 5 = 25 и 3 3 = 9.
- Шаг 5. Вычитаем: 25 - 9 = 16 — это квадрат радиуса сечения.
- Шаг 6. Значит, радиус сечения равен четырём, ведь 4 * 4 = 16.
- Шаг 7. Проверяем: катет меньше гипотенузы — четыре меньше пяти, всё согласовано.
Проверь себя
- Сечение шара — всегда круг, а не овал или квадрат.
- Радиус шара — гипотенуза, а расстояние и радиус сечения — катеты.
- Извлекая корень, берут положительное число: радиус не бывает отрицательным.
- Центральное сечение даёт самый большой круг, потому что расстояние равно нулю.
Как объяснить ребёнку
«Разрежь апельсин плоскостью — в любом месте получится круг. Центр шара, центр этого круга и его край образуют прямоугольный треугольник, и теорема Пифагора связывает три длины».
Тема для отчёта родителю
«Тела вращения: цилиндр, конус, шар и их поверхности».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.