Условие
Через середины трёх рёбер куба, выходящих из одной вершины, проведена плоскость. Построй это сечение и определи, какая фигура получилась.
Что известно и что ищем
- Сечение многогранника — это многоугольник, по которому плоскость разрезает фигуру.
- Две точки сечения, лежащие в одной грани, соединяют отрезком.
- Точки из разных граней напрямую не соединяют: сначала находят след плоскости на грани.
Ход решения
- Шаг 1. Отмечаем на чертеже три точки: середины трёх рёбер, выходящих из одной вершины куба. Каждые две из этих точек лежат с этой вершиной в одной грани.
- Шаг 2. Соединяем точки попарно: каждая пара попадает в свою грань, поэтому три отрезка лежат в трёх разных гранях, но на одной плоскости сечения.
- Шаг 3. Получился треугольник: три точки не лежат на одной прямой, а значит, определяют единственную плоскость.
- Шаг 4. Смотрим на стороны. Каждая сторона соединяет середины двух рёбер одной грани, а значит, является средней линией прямоугольного треугольника внутри грани.
- Шаг 5. Считаем длину стороны для куба с ребром 6. Диагональ грани находим по сумме квадратов: 36 + 36 = 72, то есть диагональ равна корню из семидесяти двух. Сторона сечения — половина диагонали: 6 / 2 = 3, то есть три корня из двух.
- Шаг 6. Все три стороны равны, значит сечение — равносторонний треугольник. Проверка: у равностороннего треугольника равны и стороны, и углы, а наши три стороны построены одинаково.
Проверь себя
- Точки из разных граней соединяют только после того, как найдена общая грань или след.
- Сечение всегда лежит внутри тела: не стоит «выходить» линией за пределы куба.
- Две точки, лежащие на одной прямой с ребром, ещё не дают нужной грани — проверяйте по чертежу.
- Готовое сечение удобно проверять на симметрию: в кубе решения часто получаются красивыми.
Как объяснить ребёнку
«Сечение — это разрез: представь, что взял нож и срезал угол куба. Линия разреза пойдёт по граням, а точки на одной грани соединяются отрезком».
Тема для отчёта родителю
«Стереометрия: параллельность прямых и плоскостей».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.