Условие
Реши уравнение: косинус переменной равен одной второй. Запиши общее решение и объясни, почему ответов бесконечно много.
Что известно и что ищем
- Значение косинуса задано табличным числом, значит угол опорный.
- На окружности одному значению косинуса отвечают две точки, симметричные относительно горизонтальной оси.
- Полный оборот возвращает точку на место, поэтому к найденным углам добавляется целое число оборотов.
Ход решения
- Шаг 1. Вспоминаем таблицу: косинус равен одной второй у угла 60 градусов, то есть у пи третьих.
- Шаг 2. Находим вторую точку. Косинус — горизонтальная координата, поэтому симметрия идёт относительно вертикальной оси: вторая точка — в нижней половине, ей отвечает угол минус пи третьих.
- Шаг 3. Объединяем обе точки одной записью: плюс-минус пи третьих плюс два пи ка, где ка — любое целое число.
- Шаг 4. Проверяем серию: при ка равном единице получаем пи третьих плюс два пи, то есть семь пи третьих — точка вернулась в то же место после полного оборота.
- Шаг 5. Проверяем вторую ветвь: минус пи третьих плюс два пи даёт пять пи третьих, и косинус там снова равен одной второй.
- Шаг 6. Проговариваем границы: если бы справа стояло число больше единицы или меньше минус единицы, уравнение вообще не имело бы решений — косинус до таких значений не дотягивается.
Проверь себя
- Одна точка — неполный ответ: у косинуса почти всегда две ветви.
- Знак «плюс-минус» относится к углу, а не к периоду.
- Запись с целым числом оборотов — не формальность, а способ описать бесконечное множество решений.
- Перед разбором уравнения проверьте, попадает ли значение в область допустимых значений функции.
Как объяснить ребёнку
«Косинус — это координата по горизонтали. Одной высоте на окружности отвечают сразу две точки: справа и слева. Плюс оборот — это тот же круг ещё раз, поэтому ответов бесконечно много».
Тема для отчёта родителю
«Тригонометрические уравнения».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.