Условие
Функция задана выражением: куб переменной плюс удвоенный квадрат минус пять переменных. Найди её производную и вычисли значение производной в точке два.
Что известно и что ищем
- Производная суммы равна сумме производных, поэтому каждое слагаемое берём отдельно.
- Производная степенной функции получается по одному правилу: показатель уходит вперёд множителем, а сама степень уменьшается на единицу.
- Производная линейного слагаемого — его коэффициент, производная числа — ноль.
- Значение производной в точке — это число, а не выражение с переменной.
Ход решения
- Шаг 1. Разбиваем функцию на слагаемые и договариваемся брать производную от каждого по отдельности.
- Шаг 2. Производная куба: тройка уходит вперёд, степень становится квадратом, то есть три икс в квадрате.
- Шаг 3. Производная удвоенного квадрата: множитель два сохраняется, а производная квадрата даёт два икс, то есть четыре икс.
- Шаг 4. Производная линейного слагаемого равна минус пяти, а производная постоянного числа равна нулю.
- Шаг 5. Собираем производную целиком: три икс в квадрате плюс четыре икс минус пять.
- Шаг 6. Подставляем точку два: квадрат даёт 4, значит 3 4 = 12; линейный член даёт 4 2 = 8; складываем: 12 + 8 = 20; вычитаем пять: 20 - 5 = 15.
- Шаг 7. Ответ: значение производной в точке два равно пятнадцати.
Проверь себя
- Множитель перед слагаемым не исчезает, он просто выходит за знак производной.
- При понижении степени показатель уменьшается ровно на единицу, не больше и не меньше.
- Производная постоянного слагаемого всегда ноль.
- Подставь точку в самом конце, когда производная уже собрана.
Как объяснить ребёнку
«У каждой степени есть своё простое правило: показатель выпрыгивает вперёд, а степень становится на единицу меньше. Дальше складываем то, что получилось у каждого кусочка, — и производная готова».
Тема для отчёта родителю
«Производная и её применение: скорость, касательная, экстремумы».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.