Условие
В четырёхугольнике диагонали пересекаются в точке, которая делит каждую из них пополам. Докажи, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Что известно и что ищем
- Дано: диагонали делятся точкой пересечения пополам.
- Доказать: противоположные стороны четырёхугольника параллельны.
- Инструмент: треугольники, образованные диагоналями, и признаки равенства треугольников.
Ход решения
- Шаг 1. Обозначаем четырёхугольник и точку пересечения диагоналей буквами: так удобнее ссылаться на элементы.
- Шаг 2. Рассматриваем два треугольника, в которые входят противоположные стороны четырёхугольника, с общей вершиной в точке пересечения.
- Шаг 3. У этих треугольников по две равные стороны из условия, а углы между ними равны как вертикальные.
- Шаг 4. Значит, треугольники равны по первому признаку, и соответственные стороны четырёхугольника равны.
- Шаг 5. Равные накрест лежащие углы при секущей дают параллельность противоположных сторон.
- Шаг 6. Обе пары противоположных сторон параллельны — по определению это параллелограмм.
Проверь себя
- Частая ошибка — доказывать параллельность словами «видно на чертеже».
- Каждый шаг доказательства ссылается на определение, свойство или признак.
- Равенство вертикальных углов — отдельный факт, и его нужно назвать.
- Обратное утверждение тоже верно: у параллелограмма диагонали делятся пополам, но это уже свойство.
Как объяснить ребёнку
«Диагонали — это две перекладины. Если они пересекаются ровно посередине, четырёхугольник обязана «выровнять» симметрия: стороны идут парами, как рельсы».
Тема для отчёта родителю
«Четырёхугольники: параллелограмм, трапеция, ромб».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.