Условие
Дан параллелепипед: нижнее основание — четырёхугольник, верхнее — такой же четырёхугольник над ним. Докажи, что сторона верхнего основания параллельна плоскости нижнего основания.
Что известно и что ищем
- В параллелепипеде верхнее и нижнее основания лежат в параллельных плоскостях.
- Соответственные стороны оснований параллельны между собой.
- Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости и не лежит в ней.
Ход решения
- Шаг 1. Возьмём сторону верхнего основания и соответствующую ей сторону нижнего. В параллелепипеде это рёбра, соединяющие одинаково расположенные вершины, и они параллельны.
- Шаг 2. Выбранная сторона нижнего основания целиком лежит в плоскости нижнего основания — это следует из аксиомы о прямой, две точки которой лежат в плоскости.
- Шаг 3. Проверяем, что сторона верхнего основания не лежит в плоскости нижнего: она находится в другой плоскости, на высоте параллелепипеда, и общих точек с нижней плоскостью не имеет.
- Шаг 4. Оба условия признака выполнены: есть параллельная прямая в плоскости, и сама прямая в этой плоскости не лежит. Значит, сторона верхнего основания параллельна плоскости нижнего основания.
- Шаг 5. Проверим на числах для куба с ребром 4: площадь основания равна 4 * 4 = 16, а сама сторона верхнего основания параллельна плоскости нижнего — размеры и расстояния на это не влияют.
- Шаг 6. Проговорим, чего доказывать не нужно: параллельность прямой и плоскости не означает, что прямая параллельна каждой прямой этой плоскости. Просто у них нет общих точек.
Проверь себя
- Признак требует двух условий: параллельная прямая внутри плоскости и отсутствие общих точек у самой прямой.
- Рисунок помогает увидеть ситуацию, но доказательство опирается на формулировку признака.
- Утверждение «прямая параллельна плоскости» и «прямая параллельна прямой плоскости» — не одно и то же.
- Проверяйте, в какой плоскости лежит каждый отрезок: в стереометрии это ключевой вопрос.
Как объяснить ребёнку
«Прямая прячется за плоскостью: сверху параллельна нижней стороне, а с самой плоскостью не встречается. Параллельность здесь — это когда прямые идут рядом и не пересекаются».
Тема для отчёта родителю
«Стереометрия: параллельность прямых и плоскостей».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.