Условие
Реши уравнение: четыре в степени икс минус пять умножить на два в степени икс плюс четыре равно нулю.
Что известно и что ищем
- Четыре в степени икс — это два в степени два икс, то есть квадрат выражения два в степени икс.
- Когда одно и то же выражение повторяется дважды, помогает замена переменной.
- После замены получается обычное квадратное уравнение.
- Степень с положительным основанием всегда положительна, поэтому не всякий корень подходит.
Ход решения
- Шаг 1. Замечаем, что четыре в степени икс — это квадрат выражения два в степени икс.
- Шаг 2. Вводим замену: обозначаем два в степени икс новой буквой.
- Шаг 3. Уравнение превращается в квадратное: новая переменная в квадрате минус пять новых переменных плюс четыре равно нулю.
- Шаг 4. Корни квадратного уравнения — единица и четыре: проверяем подстановкой, 1 - 5 + 4 = 0 и 16 - 20 + 4 = 0.
- Шаг 5. Возвращаемся к замене: два в степени икс равно единице, значит икс равен нулю; два в степени икс равно четырём, значит икс равен двум.
- Шаг 6. Оба корня допустимы, ведь степень положительна, и значения единица и четыре положительны.
- Шаг 7. Итог: уравнение имеет два решения — икс равен нулю и икс равен двум.
Проверь себя
- Замена подходит, когда выражение повторяется целиком, а не по частям.
- Отрицательный или нулевой корень замены надо отбрасывать: степень не бывает неположительной.
- После решения квадратного уравнения обязательно вернись к исходной переменной.
- Оба найденных значения проверяют подстановкой в исходное уравнение.
Как объяснить ребёнку
«Если одно и то же выражение повторяется дважды, назови его одной буквой — и сложное уравнение станет обычным квадратным. А потом верни букву обратно и реши два простых случая».
Тема для отчёта родителю
«Показательные уравнения и неравенства: одна база и свойства степени».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.