Условие
Найди площадь фигуры под графиком квадрата переменной на отрезке от нуля до трёх.
Что известно и что ищем
- Площадь под неотрицательным графиком равна определённому интегралу на том же отрезке.
- Первообразную для квадрата легко восстановить по правилу степени.
- Пределы интегрирования совпадают с границами фигуры.
- Ответ площади должен быть положительным.
Ход решения
- Шаг 1. Записываем площадь как определённый интеграл от квадрата переменной на отрезке от нуля до трёх.
- Шаг 2. Восстанавливаем первообразную: куб переменной, делённый на три.
- Шаг 3. Подставляем верхний предел три: 3 3 3 = 27, и 27 / 3 = 9.
- Шаг 4. Подставляем нижний предел ноль: 0 0 0 = 0, и 0 / 3 = 0.
- Шаг 5. Вычитаем: 9 - 0 = 9. Площадь равна девяти.
- Шаг 6. Прикидка по прямоугольнику: график квадрата идёт ниже верхней линии, поэтому площадь меньше прямоугольника со сторонами три и девять; 3 * 9 = 27, а наша площадь — треть от этого, то есть 9. Сходится.
Проверь себя
- Границы фигуры должны совпадать с пределами интегрирования.
- Под интегралом стоит исходная функция, а не её первообразная.
- Площадь фигуры ниже оси берут по модулю, иначе получится отрицательное число.
- Итог площади — положительная величина; единицы измерения становятся квадратными.
Как объяснить ребёнку
«Криволинейная фигура под графиком — это как холм сбоку. Разбей её мысленно на тонкие столбики, посчитай их и сложи. Интеграл делает то же самое, только сразу и точно».
Тема для отчёта родителю
«Первообразная и интеграл: от площади до формулы Ньютона–Лейбница».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.