Условие
Для функции, заданной выражением три икс в квадрате, найди первообразную и проверь результат дифференцированием.
Что известно и что ищем
- Первообразная — это функция, производная которой даёт исходную.
- Первообразных бесконечно много: они отличаются постоянным слагаемым.
- Проверка всегда одна: продифференцировать найденную функцию и получить условие.
- Работает та же таблица, что и для производной, только прочитанная в обратную сторону.
Ход решения
- Шаг 1. Ищем функцию, производная которой даёт три икс в квадрате. Это куб переменной.
- Шаг 2. Проверяем дифференцированием: производная куба равна трём икс в квадрате — совпало с условием.
- Шаг 3. Добавляем постоянное слагаемое: на производную оно не влияет, значит семейству первообразных разрешено любое число.
- Шаг 4. Записываем ответ в общем виде: куб переменной плюс произвольная постоянная.
- Шаг 5. Проверим соседний случай: для выражения два икс первообразная — квадрат переменной, потому что производная квадрата даёт два икс.
- Шаг 6. Числовая проверка: производная квадрата в точке два равна 2 * 2 = 4, и то же значение даёт формула два икс.
Проверь себя
- Первообразная восстанавливается «наоборот» по сравнению с производной.
- Постоянное слагаемое не влияет на производную, поэтому оно есть всегда.
- Проверка дифференцированием — обязательный шаг, а не украшение.
- Без проверки легко потерять множитель и получить неверную первообразную.
Как объяснить ребёнку
«Производная и первообразная — как две стороны одной лестницы: по одной спускаешься, по другой поднимаешься. Взял первообразную — сразу проверь себя производной, и всё должно сойтись».
Тема для отчёта родителю
«Первообразная и интеграл: от площади до формулы Ньютона–Лейбница».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.