Условие
Найди точки пересечения прямой «вторая координата равна первой плюс один» и окружности «сумма квадратов координат равна 25».
Что известно и что ищем
- Общие точки прямой и окружности — решения системы из двух уравнений.
- Метод координат подставляет одну зависимость в другую и сводит дело к уравнению с одной переменной.
- Число решений совпадает с числом точек пересечения.
Ход решения
- Шаг 1. Подставляем выражение для второй координаты в уравнение окружности: получаем уравнение с одной переменной.
- Шаг 2. Раскрываем квадрат суммы и приводим подобные: получаем уравнение с квадратом переменной и её первой степенью.
- Шаг 3. Делим все слагаемые на 2 для упрощения — уравнение становится приведённым.
- Шаг 4. Находим корни: 3 и -4 — их сумма равна -1, а произведение равно -12.
- Шаг 5. Для каждого корня считаем вторую координату по уравнению прямой: получаем точки с координатами 3 и 4, а также -4 и -3.
- Шаг 6. Проверяем обе точки на окружности: 9 + 16 = 25 и 16 + 9 = 25. Обе лежат на окружности. Прикидка: две точки пересечения — значит, прямая пересекает окружность, а не касается её.
Проверь себя
- Оба корня нужно довести до пары координат: ответ системы — точки, а не числа.
- Проверка подстановкой в уравнение окружности отсеивает вычислительные ошибки.
- Если уравнение после подстановки имеет один корень, прямая касается окружности; корней нет — фигуры не пересекаются.
- Расстояние от центра до прямой — ещё один способ предсказать число точек до вычислений.
Как объяснить ребёнку
«Прямая и окружность встречаются там, где их условия выполняются одновременно. Подставляем одно условие в другое — и задача про чертёж превращается в обычное уравнение».
Тема для отчёта родителю
«Метод координат: уравнение прямой и окружности».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.