Условие
Реши уравнение: косинус переменной равен корню из двух, делённому на два. Затем отбери те корни, которые лежат на отрезке от нуля до двух пи.
Что известно и что ищем
- Значение косинуса табличное: корень из двух на два отвечает углу 45 градусов.
- Общее решение даёт две ветви, и в каждой бесконечно много корней.
- Отбор — это проверка условия «попал в отрезок» для каждого корня, а не выбор «похожего» ответа.
Ход решения
- Шаг 1. Опорный угол: косинус 45 градусов равен корню из двух, делённому на два, то есть пи четвёртых.
- Шаг 2. Записываем общее решение: плюс-минус пи четвёртых плюс два пи ка.
- Шаг 3. Переводим границы отрезка в четвёртые доли: в одном пи — четыре четвёртых, значит в двух пи их 4 + 4 = 8. Отрезок — это от нуля до восьми пи четвёртых.
- Шаг 4. Идём по первой ветви. При ка равном нулю получаем одну четвёртую пи — это внутри отрезка. При ка равном единице получаем девять четвёртых пи, а это уже больше восьми четвёртых, то есть больше двух пи. Дальше корни только растут.
- Шаг 5. Идём по второй ветви. При ка равном нулю получаем минус пи четвёртых — это меньше нуля, не подходит. При ка равном единице получаем минус одну четвёртую плюс четыре четвёртых, то есть три четвёртых пи — подходит.
- Шаг 6. Ответ на отрезке: пи четвёртых и три четвёртых пи. Остальные корни обеих серий лежат за границами.
- Шаг 7. Геометрическая проверка: угол 45 градусов — в первой четверти, угол 135 градусов — во второй. Обе точки попадают на верхнюю половину окружности, и обе лежат между нулём и поворотом на два пи.
Проверь себя
- Отбор делайте по неравенству или по окружности, а не «на глаз».
- Границы отрезка удобно привести к тому же знаменателю, что и корни.
- В каждую серию подставляют несколько последовательных целых значений, пока корни не выйдут за границы.
- Если корень совпал с границей, его обязательно проверяют отдельно.
Как объяснить ребёнку
«Общее решение — это весь набор углов на бесконечной намотке. Отбор — линейка: прикладываем её к нужному участку и оставляем только те точки, которые в него попали».
Тема для отчёта родителю
«Тригонометрические уравнения».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.