Условие
Функция задана формулой: в числителе стоит 12, а в знаменателе — разность переменной и четвёрки. Найди область определения этой функции, её нули и значение в точке 5. Затем найди область определения и нуль функции, у которой под квадратным корнем стоит сумма переменной и единицы.
Что известно и что ищем
- Область определения — все значения переменной, при которых запись имеет смысл.
- Знаменатель дроби не может обращаться в нуль.
- Нуль функции — значение переменной, при котором значение функции равно нулю.
- Под квадратным корнем не может стоять отрицательное число.
- Значение в точке ищут подстановкой.
Ход решения
- Шаг 1. Смотрим на знаменатель: он обращается в нуль при переменной, равной 4. Значит, из всех чисел придётся исключить четвёрку — в этой точке функция не определена.
- Шаг 2. Ищем нули. Дробь равна нулю только тогда, когда её числитель равен нулю. Числитель здесь — постоянное число 12, оно нулём не бывает. Вывод: у этой функции нулей нет, график не пересекает горизонтальную ось.
- Шаг 3. Считаем значение в точке 5. Сначала знаменатель: 5 - 4 = 1. Затем делим: 12 / 1 = 12. В точке 5 функция принимает значение 12.
- Шаг 4. Переходим ко второй функции. Под корнем стоит сумма переменной и единицы, а это выражение должно быть неотрицательным. Значит, переменная не меньше минус единицы — это и есть область определения.
- Шаг 5. Нуль второй функции: подставляем минус единицу — под корнем получается ровно нуль, а корень из нуля равен нулю. Ответ: нуль функции — минус единица.
- Шаг 6. Проверяем первый результат ещё раз: чтобы убедиться, что нулей нет, достаточно посмотреть на числитель и вспомнить правило «дробь равна нулю только при нулевом числителе».
Проверь себя
- Запрет на нуль в знаменателе даёт «дырку» в области определения, а не отдельный ответ.
- Постоянный ненулевой числитель — признак того, что нулей у дроби не будет.
- У корня чётной степени условие на подкоренное выражение записывают неравенством, а не «на глаз».
- Найденные значения всегда подставляйте в исходную запись.
Как объяснить ребёнку
«Область определения — это список чисел, которые формула выдержит. Знаменатель не терпит нуля, корень — отрицательных чисел. Остальные числа функция спокойно принимает».
Тема для отчёта родителю
«Функции и графики: область определения, чётность, обратная функция».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.