Условие
Функция задана выражением: квадрат переменной минус четыре переменных плюс пять. Найди её наибольшее и наименьшее значение на отрезке от нуля до трёх.
Что известно и что ищем
- Наибольшее и наименьшее значение ищут среди критических точек внутри отрезка и на его концах.
- Критические точки — там, где производная равна нулю.
- У параболы с положительным старшим коэффициентом есть минимум, поэтому наибольшее значение может оказаться на краю отрезка.
- Подставлять нужно в исходную функцию, а не в производную.
Ход решения
- Шаг 1. Находим производную: два икс минус четыре.
- Шаг 2. Производная обращается в ноль при икс, равном двум, и эта точка попадает в отрезок от нуля до трёх.
- Шаг 3. Считаем значение функции в критической точке: 2 * 2 = 4, затем 4 - 8 + 5 = 1.
- Шаг 4. Считаем значение в левом конце: 0 - 0 + 5 = 5.
- Шаг 5. Считаем значение в правом конце: 9 - 12 + 5 = 2.
- Шаг 6. Сравниваем три числа: пять, один и два. Наибольшее — пять, наименьшее — один.
- Шаг 7. Вывод: наибольшее значение равно пяти и достигается в левом конце отрезка, наименьшее равно единице и достигается в критической точке.
Проверь себя
- Нельзя проверять только критическую точку: концы отрезка дают не меньше кандидатов.
- Если критическая точка не попала в отрезок, её вообще не рассматривают.
- Сравнивать нужно все найденные числа, а не первое подходящее.
- Ответ удобно сверять по виду графика: где вершина, а где края.
Как объяснить ребёнку
«Представь, что ты идёшь по графику от одного края до другого. Самое высокое и самое низкое место может оказаться и на дне ложбины, и у самого края дорожки. Поэтому проверяем все подозрительные точки и оба конца».
Тема для отчёта родителю
«Производная и её применение: скорость, касательная, экстремумы».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.