Условие
Реши уравнение, в котором под квадратным корнем стоит сумма удвоенной переменной и трёх, а само выражение равно 5.
Что известно и что ищем
- Переменная стоит под знаком корня, значит уравнение иррациональное.
- Основной приём — возвести обе части в квадрат и избавиться от корня.
- Подкоренное выражение обязано быть неотрицательным.
- Возведение в квадрат может добавить лишние корни, поэтому проверка обязательна.
Ход решения
- Шаг 1. Возводим обе части в квадрат. Справа 5 * 5 = 25. Слева квадрат убирает корень, остаётся подкоренное выражение.
- Шаг 2. Получилось обычное линейное уравнение: удвоенная переменная плюс три равна двадцати пяти.
- Шаг 3. Переносим тройку: 25 - 3 = 22. Это удвоенная переменная.
- Шаг 4. Делим на два: 22 / 2 = 11. Уравнение дало единственный ответ — 11.
- Шаг 5. Проверяем условие на подкоренное выражение: при 11 под корнем стоит положительное число, запретов нет.
- Шаг 6. Обязательная проверка подстановкой: 2 * 11 + 3 = 25, а корень из 25 равен 5. Совпало с правой частью — ответ верный.
- Шаг 7. Именно проверка ловит лишние корни, которые появляются при возведении в квадрат. Их не отбрасывают «на всякий случай», а отсеивают подстановкой в исходную запись.
Проверь себя
- Возводить в квадрат нужно всю часть целиком, а не отдельные слагаемые.
- Проверять ответ нужно в исходном уравнении, а не в преобразованном.
- Лишний корень появляется, когда правая часть отрицательна: тогда уравнение решений не имеет.
- Если в уравнении два корня, один из них сначала уединяют.
Как объяснить ребёнку
«Корень — это замок: чтобы его снять, возводим в квадрат, но за снятие платим проверкой. Квадрат может впустить чужой ответ, подстановка его выгонит».
Тема для отчёта родителю
«Корень n-й степени и иррациональные уравнения».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.