Условие
Вычисли определённый интеграл от переменной на отрезке от нуля до двух и объясни, что означает полученное число.
Что известно и что ищем
- Определённый интеграл считают по формуле Ньютона–Лейбница: находят первообразную и вычитают её значение в нижнем пределе из значения в верхнем.
- Пределы подставляют в первообразную, а не в исходную функцию.
- Результат определённого интеграла — число.
- Геометрически это площадь фигуры под графиком на заданном отрезке.
Ход решения
- Шаг 1. Первообразная для переменной — это квадрат переменной, делённый на два.
- Шаг 2. Подставляем верхний предел два: 2 * 2 = 4, и 4 / 2 = 2.
- Шаг 3. Подставляем нижний предел ноль: 0 * 0 = 0, и 0 / 2 = 0.
- Шаг 4. Вычитаем: 2 - 0 = 2. Получаем ответ — два.
- Шаг 5. Читаем смысл: под графиком переменной на этом отрезке лежит прямоугольный треугольник с катетами два и два, а его площадь — половина от произведения катетов.
- Шаг 6. Проверка через площадь треугольника: 2 * 2 = 4, и 4 / 2 = 2 — совпало с интегралом.
Проверь себя
- Порядок подстановки: из верхнего значения вычитают нижнее.
- Пределы подставляют в первообразную, иначе ответ выйдет бессмысленным.
- Ответ интеграла — число, а не функция с переменной.
- Знак ответа полезно сверять с расположением графика: над осью площадь положительна.
Как объяснить ребёнку
«Интеграл копит маленькие полоски под графиком. Формула Ньютона–Лейбница — это короткий путь: берём первообразную и смотрим, насколько она выросла от нижнего края до верхнего».
Тема для отчёта родителю
«Первообразная и интеграл: от площади до формулы Ньютона–Лейбница».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.