Условие
Реши уравнение, в котором дробь равна нулю: в числителе стоит разность квадратов, в знаменателе — разность переменной и тройки.
Что известно и что ищем
- Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
- Значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, в ответ не входят.
- Числитель раскладывается на множители как разность квадратов.
Ход решения
- Шаг 1. Выписываем допустимые значения: знаменатель не должен обращаться в нуль, значит, значение переменной не может быть равно 3.
- Шаг 2. Приравниваем к нулю только числитель — знаменатель при этом обязан отличаться от нуля.
- Шаг 3. Раскладываем разность квадратов на два множителя и получаем два кандидата в корни — 3 и -3.
- Шаг 4. Первый кандидат запрещён: при нём знаменатель обращается в нуль. Остаётся только -3.
- Шаг 5. Проверяем: в числителе при найденном значении получаем 9 - 9 = 0, а знаменатель равен -6 и в нуль не обращается.
- Шаг 6. Прикидка: единственный оставшийся корень отрицательный — по смыслу задачи это возможно, ограничений на знак не было.
Проверь себя
- Допустимые значения выписывают до решения, а не после: иначе посторонний корень легко проскользнёт в ответ.
- Умножение на выражение с переменной и возведение в квадрат добавляют лишние корни — их отсеивают проверкой.
- Нуль числителя — необходимое условие, но не достаточное: знаменатель тоже нужно проверить.
- Ответ обязательно подставляют в исходную запись, а не в промежуточную.
Как объяснить ребёнку
«Дробь — это деление, а на нуль делить нельзя. Поэтому сначала вычеркиваем те значения, где знаменатель превращается в нуль, и только потом ищем, где числитель обнуляется».
Тема для отчёта родителю
«Уравнения и системы: целые, дробные и с двумя переменными».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.