Условие
Даны три формулы: первая — куб переменной минус сама переменная; вторая — квадрат переменной плюс 4; третья — квадрат переменной плюс сама переменная. Определи, какая функция чётная, какая нечётная, а какая не обладает ни тем, ни другим свойством.
Что известно и что ищем
- Чётная функция при противоположных значениях переменной даёт одинаковый результат.
- Нечётная функция при противоположных значениях даёт противоположные результаты.
- Проверять нужно правилом, то есть для произвольного значения, а не одним удачным примером.
- Если свойство не выполняется хотя бы для одного значения, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ход решения
- Шаг 1. Первая функция при значении 2: куб даёт 8, вычитаем 2 и получаем 8 - 2 = 6. При значении минус 2: куб даёт минус 8, прибавляем 2 и получаем минус 6. Результаты противоположны — функция нечётная.
- Шаг 2. Проверим это правилом: при замене переменной на противоположную куб меняет знак, а линейный член тоже меняет знак, значит всё выражение меняет знак целиком. Догадка подтвердилась.
- Шаг 3. Вторая функция при значении 2: квадрат даёт 4, получаем 4 + 4 = 8. При значении минус 2: квадрат снова даёт 4, снова 4 + 4 = 8. Результаты одинаковы — функция чётная.
- Шаг 4. Правило тоже работает: квадрат не чувствует знака, поэтому при замене переменной на противоположную выражение не меняется.
- Шаг 5. Третья функция при значении 2: 4 + 2 = 6. При значении минус 2: 4 - 2 = 2. Ни одинаковых, ни противоположных результатов нет — свойство не выполняется.
- Шаг 6. Вывод: квадрат «гасит» знак, нечётная степень его сохраняет, а сумма квадрата и первой степени смешивает оба поведения — симметрии нет.
Проверь себя
- Симметрия графика: чётная функция зеркальна относительно вертикальной оси, нечётная — относительно начала координат.
- Одно совпадение значений ничего не доказывает: нужна проверка для произвольного значения.
- Смешанные формулы часто не обладают ни чётностью, ни нечётностью — это нормальный ответ.
- Полезно проверять обе точки: и положительную, и отрицательную.
Как объяснить ребёнку
«Подставь вместо икса минус икс и посмотри, что получилось. Знаки не изменились — функция чётная. Все знаки перевернулись — нечётная. Получилась ни то ни другое — значит, симметрии нет».
Тема для отчёта родителю
«Функции и графики: область определения, чётность, обратная функция».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.