Условие
Запиши бесконечную периодическую дробь, у которой после запятой идут только тройки, в виде обыкновенной дроби. Воспользуйся геометрической прогрессией.
Что известно и что ищем
- Бесконечную периодическую дробь можно разложить в сумму разрядных слагаемых.
- Эти слагаемые образуют геометрическую прогрессию с убывающим знаменателем.
- Сумма такой прогрессии — конечное число, то есть обыкновенная дробь.
Ход решения
- Шаг 1. Раскладываем число по разрядам: три десятых плюс три сотых плюс три тысячных и так далее до бесконечности.
- Шаг 2. Смотрим на получившийся ряд: первый член — три десятых, а знаменатель — одна десятая, потому что каждый следующий разряд в десять раз меньше предыдущего.
- Шаг 3. Знаменатель меньше единицы, значит сумма всех членов существует.
- Шаг 4. Считаем её: (3/10) / (9/10) = 1/3. Делить на девять десятых — то же самое, что умножить на десять девятых, и после сокращения получается одна треть.
- Шаг 5. Проверяем результат обратным делением: 9 / 3 = 3, то есть в каждый период из девяти десятых приходится ровно три десятых — именно так и устроена запись с тройками в периоде.
- Шаг 6. Второй способ проверки — «школьный»: чтобы перевести дробь с тройками в периоде, в числитель пишут период, а в знаменатель — столько девяток, сколько цифр в периоде. Получается три девятых, то есть одна треть. Ответы совпали.
Проверь себя
- Знаменатель прогрессии — это отношение соседних разрядных слагаемых, а не разность.
- Формулу бесконечной суммы применяют только при знаменателе по модулю меньше единицы.
- Правило с девятками работает для чистой периодической дроби; для смешанной схемы сложнее.
- Результат полезно проверять делением: обыкновенная дробь должна давать ту же запись.
Как объяснить ребёнку
«Каждая следующая цифра добавляет всё меньше. Эти добавки быстро мельчают, поэтому весь бесконечный хвост в сумме даёт простую дробь — одну треть».
Тема для отчёта родителю
«Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сложные проценты».
Формулировка задания — наш аналог по теме, а не текст из учебника.